اثبات کامپیوتری جدید معادلات سیالات چند صد ساله را منفجر می کند

برای قرن ها، ریاضیدانان به دنبال درک و مدل سازی حرکت سیالات بوده اند. معادلاتی که چگونگی چروک شدن امواج بر سطح یک حوضچه را توصیف می کند، به محققان کمک کرده است تا آب و هوا را پیش بینی کنند، هواپیماهای بهتری طراحی کنند و چگونگی جریان خون در سیستم گردش خون را مشخص کنند. این معادلات زم، که به زبان ریاضی درست نوشته شوند به طرز فریبنده ای ساده هستند. با این حال، راه‌حل‌های آن‌ها به قدری پیچیده است که درک سؤالات اساسی در مورد آنها می‌تواند بسیار دشوار باشد.

شاید قدیمی ترین و برجسته ترین این معادلات، که توسط لئونارد اوی، بیش از 250 سال پیش فرموله شده است، جریان یک سیال ایده آل و تراکم ناپذیر را توصیف می کند: سیالی بدون ویسکوزیته یا اصطکاک داخلی، و نمی توان آن را به حجم کمتری وارد کرد. تقریباً تمام معادلات سیال غیرخطی به نوعی از معادلات اوی، مشتق شده اند. تارک الگیندی، ریاضیدان دانشگاه دوک. می توان گفت: “اولین نفر هستند.”

با این حال، بسیاری از معادلات اوی، ناشناخته باقی مانده است – از جمله اینکه آیا آنها همیشه یک مدل دقیق از جریان سیال ایده آل هستند یا خیر. یکی از مشکلات اصلی در دینامیک سیالات این است که بفهمیم آیا معادلات هرگز ش،ت می‌خورند یا نه، و مقادیر بی‌م،ی تولید می‌کنند که آنها را قادر به پیش‌بینی حالت‌های آینده سیال نمی‌کند.

ریاضیدانان مدتها است که مشکوک بودند که شرایط اولیه وجود دارد که باعث ش،ت معادلات می شود. اما نتوانسته اند آن را ثابت کنند.

که در یک پیش چاپ یک زوج ریاضیدان که در ماه اکتبر به صورت آنلاین ارسال شد، نشان دادند که نسخه خاصی از معادلات اوی، واقعاً گاهی اوقات ش،ت می خورد. این اثبات یک پیشرفت بزرگ را نشان می دهد – و در حالی که مشکل نسخه کلی تر معادلات را به طور کامل حل نمی کند، امیدوار است که چنین راه حلی در نهایت در دسترس باشد. گفت: “این یک نتیجه شگفت انگیز است.” تریستان باک مستر، یک ریاضیدان در دانشگاه مریلند که در این کار دخالتی نداشت. هیچ نتیجه ای در نوع خود در ادبیات وجود ندارد.

فقط یک شکار وجود دارد.

اثبات 177 صفحه ای – نتیجه یک برنامه تحقیقاتی یک دهه – استفاده قابل توجهی از رایانه دارد. این امر مسلماً تأیید آن را برای سایر ریاضیدانان دشوار می کند. (در واقع، آنها هنوز در حال انجام این کار هستند، اگرچه بسیاری از کارشناسان بر این باورند که کار جدید درست از آب در خواهد آمد.) همچنین آنها را مجبور می کند تا با سؤالات فلسفی در مورد اینکه “اثبات” چیست و چه خواهد شد، فکر کنند. ی،ی اگر تنها راه قابل قبول برای حل چنین سؤالات مهمی در آینده، کمک رایانه باشد.

دیدن هیولا

در اصل، اگر مکان و سرعت هر ذره در یک سیال را بد،د، معادلات اوی، باید بتواند چگونگی تکامل سیال را برای همیشه پیش بینی کند. اما ریاضیدانان می خواهند بدانند که آیا واقعاً چنین است یا خیر. شاید در برخی موقعیت‌ها، معادلات همانطور که انتظار می‌رود پیش بروند و مقادیر دقیقی را برای وضعیت سیال در هر لحظه ایجاد کنند، فقط برای اینکه یکی از آن مقادیر به طور ناگه، به بی نهایت افزایش یابد. در آن نقطه، گفته می‌شود که معادلات اوی، باعث ایجاد یک «تکینگی» می‌شوند – یا به‌طور چشمگیرتر، «منفجر می‌شوند».

هنگامی که معادلات به این تکینگی رسیدند، دیگر قادر به مح،ه جریان سیال نخواهند بود. اما «تا چند سال پیش، کاری که مردم می‌توانستند انجام دهند بسیار بسیار کوتاه بود [proving ،up]”گفت چارلی ففرمن، ریاضیدان دانشگاه پرینستون.

اگر بخواهید سیالی را مدل کنید که ویسکوزیته دارد (تقریباً همه مایعات دنیای واقعی) پیچیده تر می شود. یک جایزه میلیون دلاری هزاره از موسسه ریاضیات Clay در انتظار هر ،ی است که بتواند ثابت کند که آیا ش،ت های مشابه در معادلات ناویر-استو، رخ می دهد یا خیر، تعمیم معادلات اوی، که ویسکوزیته را به حساب می آورد.