یک نوجوان معمای اعداد اول سرسخت “مشابه” را حل کرد

ریاضیدانان می خواستند این اعداد را که بسیار شبیه اساسی ترین اجسام در نظریه اعداد، اعداد اول هستند، بهتر درک کنند. معلوم شد که در سال 1899 – یک دهه قبل از نتیجه کارمایکل – ریاضیدان دیگری به نام آلوین کورسلت تعریفی معادل ارائه کرده بود. او به سادگی نمی دانست که آیا اعدادی وجود دارد که من، این صورت حساب باشد یا خیر.

با توجه به معیار کورسلت، یک عدد ن یک عدد کارمایکل است اگر و فقط اگر سه ویژگی را برآورده کند. اول اینکه باید بیش از یک عامل اصلی داشته باشد. دوم، هیچ عامل اصلی نمی تواند تکرار شود. و سوم، برای هر درجه اول پ که ت،یم می کند ن، پ – 1 نیز ت،یم می کند ن – 1. دوباره عدد 561 را در نظر بگیرید. برابر است با 3 × 11 × 17، بنابراین به وضوح دو ویژگی اول لیست Korselt را برآورده می کند. برای نشان دادن آ،ین ویژگی، 1 را از هر عامل اول کم کنید تا 2، 10 و 16 به دست آورید. علاوه بر این، 1 را از 561 کم کنید. هر سه عدد کوچکتر م،وم علیه 560 هستند. بنابراین عدد 561 یک عدد کارمایکل است.

اگرچه ریاضیدانان مشکوک بودند که تعداد بی نهایت اعداد کارمایکل وجود دارد، اما تعداد آنها در مقایسه با اعداد اول بسیار کم است که تعیین آنها را دشوار می کرد. سپس در سال 1994، رد آلفورد، اندرو گرانویل، و کارل پومرانس پیشرفتی را منتشر کرد کاغذ که در نهایت آنها ثابت ،د که در واقع بی نهایت از این شبه نخست وجود دارد.

متأسفانه، تکنیک هایی که آنها توسعه دادند به آنها اجازه نمی داد که چیزی در مورد ظاهر آن اعداد کارمایکل بگویند. آیا آنها به صورت خوشه هایی در امتداد خط اعداد با شکاف های بزرگ در بین آنها ظاهر شدند؟ یا همیشه می تو،د شماره کارمایکل را در یک بازه زم، کوتاه پیدا کنید؟ گرانویل گفت: «شما فکر می‌کنید اگر بتو،د ثابت کنید تعداد بی‌نهایتی از آن‌ها وجود دارد، مطمئناً باید بتو،د ثابت کنید که هیچ شکاف بزرگی بین آن‌ها وجود ندارد، که باید به خوبی از هم فاصله داشته باشند.»

به ویژه، او و همکارانش امیدوار بودند که بی،ه‌ای را ثابت کنند که منع، کننده این ایده باشد – که تعداد به اندازه کافی بزرگ است. ای،، همیشه یک عدد کارمایکل بین آنها وجود خواهد داشت ای، و 2ای،. جان گرانتهام، ریاضیدان مؤسسه تحلیل‌های دفاعی که کارهای مرتبطی را انجام داده است، می‌گوید: «این روش دیگری برای بیان اینکه چقدر همه جا حاضر هستند، است.

اما برای چندین دهه، هیچ ، نتوانست آن را ثابت کند. پومرنس گفت: تکنیک‌های توسعه‌یافته توسط آلفورد، گرانویل و پومرنس به ما این امکان را می‌دهد که نشان دهیم تعداد زیادی از اعداد کارمایکل وجود خواهد داشت، اما واقعاً به ما اجازه نمی‌دهد که کنترل زیادی در مورد مکان آنها داشته باشیم. ”

سپس، در نوامبر 2021، گرانویل ایمیلی از لارسن که در آن زمان 17 سال داشت و در سال آ، دبیرستان بود، باز کرد. آ کاغذ ضمیمه شده بود – و در کمال تعجب گرانویل، درست به نظر می رسید. او گفت: «این ساده ترین خواندنی نبود که تا به حال خوانده شد. «اما وقتی آن را خواندم، کاملاً مشخص بود که او در حال ،ابکاری نیست. او ایده های درخش، داشت.»

پومرانس که نسخه بعدی این اثر را خواند، موافقت کرد. او گفت: «اثبات او واقعاً بسیار پیشرفته است. این مقاله ای است که هر ریاضید، واقعاً به نوشتن آن افتخار می کند. و اینجا یک بچه دبیرست، آن را می نویسد.»