هندسه “تند و زننده” حدس و گمان کاشی کاری چند دهه را می شکند

یکی از قدیمی‌ترین و ساده‌ترین مسائل در هندسه، ریاضیدانان را غافلگیر کرده است – و نه برای اولین بار.

از دوران باستان، هنرمندان و هندسه‌دانان به این فکر می‌،د که چگونه اشکال می‌توانند کل صفحه را بدون شکاف یا همپوش، کاشی کنند. و با این حال، گفت: “تا زمان های اخیر چیزهای زیادی شناخته نشده است.” ال، ایوسویچ، ریاضیدان دانشگاه رو،تر.

آشکارترین کاشی کاری ها تکرار می شوند: پوشاندن یک طبقه با کپی هایی از مربع، مثلث یا شش ضلعی آسان است. در دهه 1960، ریاضیدانان مجموعه های عجیب و غریبی از کاشی ها را پیدا ،د که می توانند هواپیما را کاملاً بپوشانند، اما فقط به روش هایی که هرگز تکرار نمی شوند.

گفت: “شما می خواهید ساختار چنین کاشی کاری ها را درک کنید.” راشل گرینفلد، یک ریاضیدان در موسسه مطالعات پیشرفته در پرینستون، نیوجرسی. “چقدر می توانند دیوانه شوند؟”

خیلی دیوانه است، معلوم است.

اولین چنین الگوی غیر تکراری یا متناوب بر مجموعه ای از 20426 کاشی مختلف متکی بود. ریاضیدانان می خواستند بدانند که آیا می توانند این عدد را کاهش دهند یا خیر. در اواسط دهه 1970، راجر پنروز (که ادامه داد برنده جایزه ،ل فیزیک 2020 برای کار بر روی سیاه‌چاله‌ها) ثابت کرد که یک مجموعه ساده از دو کاشی که «بادبادک» و «دارت» نامیده می‌شوند، کافی است.

ایجاد ال،ایی که تکرار نمی شوند کار سختی نیست. بسیاری از کاشی‌کاری‌های تکراری یا دوره‌ای را می‌توان به گونه‌ای تغییر داد تا نمونه‌های غیر تکراری را تشکیل دهند. مثلاً یک شبکه بی نهایت مربع را در نظر بگیرید که مانند یک صفحه شطرنج در یک راستا قرار دارند. اگر هر ردیف را طوری جابه‌جا کنید که با مقدار مشخصی از ردیف بالای آن جبران شود، هرگز نمی‌تو،د ناحیه‌ای را پیدا کنید که بتوان آن را مانند یک تمبر برش داد و ،باند تا دوباره کاشی کاری کامل را ایجاد کند.

ترفند واقعی این است که مجموعه‌هایی از کاشی‌ها را پیدا کنید – مانند پنروز – که می‌توانند کل هواپیما را بپوشانند، اما فقط به روش‌هایی که تکرار نمی‌شوند.

تصویر: Merrill Sherman/Quanta Magazine

دو کاشی پنروز این سوال را مطرح کرد: آیا ممکن است کاشی تکی و با شکل هوشمندانه ای وجود داشته باشد که متن، با این طرح باشد؟

با کمال تعجب، پاسخ مثبت است – اگر اجازه دارید کاشی را جابجا کنید، بچرخ،د و منع، کنید، و اگر کاشی قطع شده باشد، به این م،ی که دارای شکاف است. این شکاف‌ها توسط دیگر کپی‌های من، چرخیده و منع،‌شده از کاشی پر می‌شوند و در نهایت کل صفحه دو بعدی را می‌پوشانند. اما اگر اجازه ندارید این شکل را بچرخ،د، غیرممکن است که هواپیما را بدون ایجاد شکاف کاشی کنید.

در واقع، چند سال پیش، ریاضیدان سیذارتا باتاچاریا ثابت کرد که – مهم نیست که طرح کاشی چقدر پیچیده یا ظریف باشد – اگر فقط بتو،د از جابجایی یا ترجمه یک کاشی استفاده کنید، پس غیرممکن است کاشی ابداع کنید که بتواند به طور متناوب کل صفحه را بپوشاند. نه به صورت دوره ای